1.7 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO

Para resolver cualquier desigualdad con valor absoluto se debe conocer las propiedades siguientes.

Ejemplo 1. Resolvamos la desigualdad

.

Utilizando la propiedad (2), tenemos la siguiente cadena de 

desigualdades equivalentes:

Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo 

Ejemplo 2. Resolvamos la desigualdad

La propiedad (3) nos dice que la desigualdad es equivalente a

Resolviendo 

o sea 

Por lo tanto la solución de la desigualdad es:

1.6 VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

El valor absoluto o numérico de un número es la distancia del mismo con respecto al 0 en la recta numérica.

El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo. Este valor puede ser conocido también como el módulo del número.

El valor absoluto de un número x se escribe como | x |, y se lee como “módulo de x”. 

•   El valor absoluto de todo número real está por ejemplo:

Note que por definición el valor absoluto de a siempre será mayor o igual que cero, y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a corresponde a la distancia a lo largo de la recta numérica desde a hasta el número cero . En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos.

• Propiedades fundamentales 
  

1.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Y DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA

NOTA: CUANDO SE DIBIDE ENTRE UN NUMERO

 NEGATIVO EL SIGNO CAMBIA DE POSICIÓN.

Véase también: http://calculofany.blogspot.mx/2013/02/ejemplos-de-inecuaciones-lineales.html

1.4 INTERVALOS Y SU REPRESENTACIÓN MEDIANTE DESIGUALDADES

La noción de intervalo es un sistema de escritura de los conjuntos numéricos en el plano de coordenadas.

El intervalo es en general, utilizado para representar un grupo de números a lo largo de un eje determinado.

Estos intervalos son típicamente representados por las desigualdades.

Tipos de intervalo

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los

 números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x ∈ ℝ/ a < x < b}

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los

números reales mayores o iguales que a y menores 

o iguales que b.

[a, b] = {x∈ ℝ/ a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es 

el conjunto de todos los números reales mayores que 

a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x  ∈ ℝ / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es 

el conjunto de todos los números reales mayores o 

iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x∈ ℝ  / a ≤ x < b}

• Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos 

formado por dos o más de estos intervalos, se 

utiliza el signo U (unión) entre ellos.

1.3 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Los números reales son los números que se utilizan para la medición de cantidades reales. Incluyen los números racionales, números irracionales, números enteros, decimales, etc. Estas cantidades reales incluyen longitud, velocidad, temperatura ambiente, tasas de crecimiento y muchos más. Los números racionales e irracionales llenan completamente la recta numérica y forman el conjunto de los números reales. En palabras más simples, los números reales se pueden clasificar en números racionales y números irracionales. Estos números racionales se pueden dividir en números enteros y fracciones.

Los números reales mantienen algunas de las propiedades básicas de las Matemáticas que por lo general pueden ser articuladas con respecto de las 2 operaciones elementales de multiplicación y suma.

 Estas propiedades incluyen:

·        EJEMPLOS

Indique qué propiedad de los números reales se ilustra con cada ejemplo.

A) –3 + 3 = 0. Respuesta: elemento inverso para la suma.

B) (x + y) × z = xz + yz.  Respuesta: ley distributiva.

C) (–3)(6) = (6)(–3). Respuesta: ley conmutativa para el producto.

Véase también http://www.amschool.edu.sv/paes/f1.htm

1.2 NÚMEROS REALES

Consideramos al número cero (0) y a la unidad (1) se suma la unidad de manera sucesiva generamos los números naturales (ℕ)

El hombre descubrió que con los números naturales podía definir operaciones como la suma o la resta (+, -), pero fue en esta última en donde el Entero= 0, -1, 1 surgió un problema número natural se genera al restar a una cantidad otros mayor que ella.

Se generan al restar una de ellas. Bajo esta necesitad colocamos signos negativos a los números naturales (ℕ) y los agregamos al conjunto ℕ dando lugar a la forma de extensiva de los números enteros (ℤ).

Debido a que estamos abordando el tema de los enteros con viene recordar a jerarquía en la operaciones aritméticas.

Las operaciones jerárquicas de realizan en el orden siguiente

1.     Paréntesis    

2.     Exponentes   

3.      Multiplicación y división de izquierda a derecha

4.     Suma y resta de izquierda a derecha

El conjunto de los números enteros se dio solución a la resta de cantidades pero un nuevo problema surgió al definir la división

No siempre es posible encontrar un numero entero como resultado de esta operación, por ejemplo ½ para dar solución a esta expresión se crean los números racionales (Q)

Podemos deducir que los números enteros también son racionales ya que son factibles de exhibirse como cocientes de número enteros.

Por lo consiguiente el conjunto de los números enteros (ℤ) están incluidos los números racionales  (Q)

Los números racionales se distinguen por:

·         Enteros

·         Tienen una cantidad finita de dígitos después de la parte entera

·         Tienen una cantidad infinita de dígitos después de la parte entera y esta parte decimal es periódica.

Los números que no se pueden escribir con un consiste de números enteros se llama números irracionales II infinito no periódico.

Los números irracionales, en contra posición o  diferencia a los racionales se pueden describir como aquellos que tienen infinitos dígitos después del punto decimal y que no son periódicos, de manera que el conjunto de números irracionales es disgusto a 

los números irracionales.

El conjunto de números racionales mas los irracionales se llama conjunto de números reales.

1.1 LA RECTA NUMERICA

La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea recta en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en azul.

Véase también:  http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_num%C3%A9rica